高等代数二次型相关问题研究
摘 要：二次型在几何、物理等领域有着广泛的应用，是高等代数的主要内容之一。在二次型里面，化二次型为标准形、二次型的规范形、正定二次型与正定矩阵这三块内容占据主要地位，同时这三块内容也经常出现在一些考研题中。本文就二次型化标准形的常用方法，规范形中的典型问题，矩阵正定性的判定及应用以及二次型在其他领域和考研中的应用为主线展开论述，最后进行论文小结。
关键词：二次型；标准形；规范形；正定性；应用
- 引言
- 研究目的
二次型在高等代数课程里占有重要的地位，学习二次型有利于我们对矩阵结构的理解，在矩阵的秩计算及其相关秩不等式的研究中起着重要作用。同时，二次型作为理论工具可应用于解析几何等其他数学分支的研究，推动了数学家对于二次曲线及二次曲面的研究。二次型作为一种特殊的多项式，为了将它化成标准形，我们采用了初等变换和正交线性替换的方法，其中正交线性替换的方法需要用到特征值和特征向量相关的知识，这可以让我们看到这两种知识间的联系。对正定二次型的研究我们引进了正定矩阵，以及相应的半正定、不定、负定等矩阵，并且我们提出了相关矩阵的判定定理，这使得我们对特殊矩阵的研究更加深入。二次型作为重要内容，在考研题里面经常会涉及相关的知识点，其中化二次型为标准形和规范形，正定矩阵的判定及应用是比较多见的题型，这需要我们掌握一定的方法及理论，对二次型里面的相关问题展开研究。
（二）研究背景
数域K上的一个n元二次型是系数在K中的n个变量的二次齐次多项式，而关于二次型的系统研究是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，为了把二次曲面S的方程化简，需要作直角坐标变换，使得S的新方程不含交叉项，从而就抽象出把一个二次齐次多项式化成只含平方项的形式。二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确给出了这个概念。而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特、蒙日和泊松建立的。柯西在别人著作的基础上，着手研究化简变数的二次型问题，并证明了特征方程在直角坐标系的任何变换下不变性。后来他又证明了n个变数的两个二次型能用同一个线性变换同时化成平方和。
国外许多数学家对二次型中秩、符号差及惯性定理的研究发展做出了很多贡献，柯西在其著作中给出结论：当方程式标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类。然而，那是并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特回答了这个问题，他给出了n个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被雅克比重新发现和证明。1801年，高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。
国内二次型研究的开拓者柯召在表二次型为线性型平方和的问题方面，在二次型表为不可分解型之和以及二次型的等价分类等问题上，作出了一系列重要工作。二次型作为高等代数课程里面极为重要的知识点，不管是对考研，还是与高代其他知识点相结合，二次型都有很大的应用。有了二次型这个概念，我们就可以从另外一种思考角度去看待矩阵的秩、矩阵的特征根与特征向量、实可逆矩阵的极分解定理等知识点。除此之外，二次型可应用于其他数学分支里面，如解析几何、微分几何等，也应用于物理学和工程技术之中。
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